El análisis de funciones se empieza a ver a partir de 1º de ESO. Más o menos se desarrolla así (*):
- Lo primero que se intenta es que el alumno aprenda a construir gráficas sencillas en el plano cartesiano a partir de tablas de valores (x, y). Cada par de valores (x, y) corresponde a un punto en el plano. Interpolando entre puntos se puede dibujar de forma aproximada la gráfica de la función. Aparecen gráficas en forma de línea recta correspondientes a funciones lineales y graficas en forma de línea curva correspondientes a funciones no lineales. (1º de ESO)
- Para darle significado a estas gráficas, estas tienen que describir fenómenos reales. Cuánto más cercanas al alumno sean las situaciones que se proponen, mejor. (1º, 2º, 3º y 4º de ESO)
- Una vez que el alumno se haya familiarizado con el concepto de gráfica de una función, se puede empezar a describir la información que esa gráfica encierra y darle sentido: para qué valores la función crece/decrece y porqué, dónde se alcanza el valor máximo/mínimo, para qué valores está definida y dónde no tiene sentido que exista y porqué, ... En principio, esta descripción debería ser puramente cualitativa y hacerse directamente desde la observación, (se describe lo que se ve), sin cálculos ni formalismos (nada de expresiones algebraicas, dominios, monotonía, simetría par/impar, ...) (1º y 2º de ESO).
- Poco a poco, se pueden ir formalizando y dando nombre a las distintas características de una gráfica: el dominio es el conjunto de valores para los que existe la función, el recorrido es el conjunto de valores que toma la función, ... En esta formalización aparece necesariamente la notación en forma de intervalos sobre la recta real, por eso no se puede abordar hasta que el alumno no domine la estructura de los números reales sobre la recta real (3º y 4º de ESO)
- También, poco a poco, se van clasificando los distintos tipos de funciones según su expresión algebraica: funciones lineales, cuadráticas, polinómicas, racionales, exponenciales, ... Se buscan las características comunes a cada uno de estos tipos de funciones. (2º, 3º y 4º de ESO)
- Los primeros pasos hacia el dibujo de una gráfica a partir de la expresión algebraica de una función se dan en 4º de ESO (salvo funciones lineales, afines y cuadráticas, que se aprenden a dibujar antes siguiendo procedimientos de tipo "receta"). En 4º de ESO se intenta que el alumno empiece a analizar las propiedades de la función no desde la descripción de la gráfica, que es lo que ha hecho hasta ahora, sino desde el estudio de su expresión algebraica. Esto es un paso de gigante y requiere un buen nivel previo de aritmética y álgebra.
- Aparece el concepto de límite de una función en el infinito y límite de una función en un punto finito, y, asociados a ellos, las asíntotas horizontales y verticales. Se necesita un gran nivel de abstracción para comprender estos conceptos. Mi experiencia es que la mayoría de los alumnos acaban la ESO sin haberlos entendido. No pasa nada, se afianzarán en los bachilleratos que cursen matemáticas, y si no, pues se puede vivir sin ellos.
- Aparece el concepto de tasa de variación media, derivada y función derivada, que son simplemente una forma de medir cómo varía la función entre dos puntos, si crece y a qué ritmo, si decrece y a qué ritmo, o si se mantiene constante. Se estudian las reglas de derivación (qué parecen trucos de magia) y el procedimiento para calcular máximos y mínimos. (4º de ESO)
(*) Este resumen de los contenidos matemáticos a lo largo de la educación primaria y secundaria solo pretende ser una visión general a grandes rasgos de cómo se va construyendo "en vertical" la asignatura. Para un análisis exhaustivo de los contenidos de cada curso es preciso consultar el currículo oficial, que depende de cada comunidad autónoma. Por ejemplo, el de la Comunidad de Madrid, puedes consultarlo aquí para Primaria, o aquí para Secundaria.
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