Problema de la escalera

Un problema interesante acerca de múltiplos, divisores y mínimo común múltiplo es el que plantea mi amigo Emilio:

"Tres hermanos suben una escalera de 300 peldaños. El mayor, Dani, sube la escalera de 6 en 6 peldaños. El mediano, Javi, sube la escalera de 4 en 4 peldaños. El pequeño, Diego, sube de 2 en 2. ¿Qué peldaños pisan los tres hermanos?"

Cuando el hijo mayor de Emilio se puso a resolver este problema, lo hizo de la siguiente forma (como decían en mi colegio: "por la cuenta de la vieja"):

• Dani pisa los peldaños: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, .... (todos los múltiplos de 6)
• Javi pisa los peldaños: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, .... (todos los múltiplos de 4)
• Diego pisa los peldaños: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (todos los múltiplos de 2)

Una vez que se tienen las tres listas desarrolladas hasta 300, sólo hay que fijarse en los números que coinciden en las tres. Estos números son: 12, 24, 36, 48, 60, ... Esos son los peldaños que pisan los tres hermanos, y es la solución del problema.

Este razonamiento es perfecto, la única pega es que el desarrollo de la solución es largo, más largo cuánto más larga sea la escalera. Por ejemplo, con 300 escalones, la lista de Diego tiene 150 peldaños, la de Javi 75 peldaños y la de Dani 50 peldaños.

Otra manera de resolverlo es a través de los conceptos de múltiplo/divisor y mínimo común múltiplo:
El mínimo común múltiplo de 2, 4 y 6 es el número más pequeño que es múltiplo a la vez de 2, de 4 y de 6. Si no te acuerdas de cómo se calcula el mínimo común múltiplo lo puedes mirar aquí.

El primer escalón que van a pisar los tres hermanos es el número 12, qué es el múltiplo más pequeño de 2, 4 y 6. El siguiente es el número 24, el siguiente el 36, después el 48, ..., es decir, todos los múltiplos de 12.
Razonando de esta manera, nos podemos ahorrar el desarrollo de las tres listas de escalones que pisa cada uno de los hermanos, y, directamente, buscar todos los múltiplos de 12 hasta el 300:

...

Los escalones en los que coinciden los tres hermanos son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216, 228, 240, 252, 264, 276, 288 y 300

¡MUCHO MÁS CORTO SI PENSAMOS UN POCO ANTES DE EMPEZAR!

Máximo común divisor (MCD)

Para entender qué buscas cuando te refieres al  "máximo común divisor" de dos números, cambia el orden de estas tres palabras:

"divisor común máximo"

es decir, buscas el divisor común a dos números que sea lo más grande posible (como sucede con el mínimo común múltiplo es más fácil si lo dices al revés).
Vamos a poner un ejemplo:
Queremos buscar el MCD de 56 y 70

• Lo primero que vamos a hacer es descomponer 56 y 70 en factores primos, así:

• Ahora vamos a colocar en dos diagramas los factores que han resultado de la descomposición factorial de cada número. En el diagrama rosa colocamos los factores de 56 y en el azul los de 70. Fíjate que los factores 2 y 7 aparecen en las dos descomposiciones (son factores comunes a 56 y 70). Para indicar esto, solapamos los dos diagramas y escribimos estos factores comunes en ese solapamiento (en teoría de conjuntos, a ese solapamiento se le llama intersección). 

• Fíjate que hasta aquí el procedimiento es el mismo que para hallar el mínimo común múltiplo.
• El MCD de 56 y 70 está formado por los factores comunes que aparecen en el diagrama anterior, los que aparecen en la zona de la intersección de los dos conjuntos. Es decir:

¡Superfácil!

mínimo común múltiplo (mcm)

Para entender qué buscas cuando te refieres al  "mínimo común múltiplo" de dos números, cambia el orden de estas tres palabras:

"múltiplo común mínimo"

es decir, buscas el múltiplo común a dos números que sea lo más pequeño posible (¿a qué es más fácil si lo dices al revés?).
Vamos a poner un ejemplo:
Queremos buscar el mcm de 56 y 70

• Lo primero que vamos a hacer es descomponer 56 y 70 en factores primos, así:

• Ahora vamos a colocar en dos diagramas los factores que han resultado de la descomposición factorial de cada número. En el diagrama rosa colocamos los factores de 56 y en el azul los de 70. Fíjate que los factores 2 y  7 aparecen en las dos descomposiciones (son factores comunes a 56 y 70). Para indicar esto, solapamos los dos diagramas y escribimos estos factores comunes en ese solapamiento (en teoría de conjuntos, a ese solapamiento se le llama intersección). 

• El mcm de 56 y 70 está formado por todos los factores comunes y no comunes que aparecen en el diagrama anterior. Es decir:

Superfácil, ¿verdad? ¡Buen cálculo!

Criterios de divisibilidad

Si no te acuerdas de cuándo un número es divisible entre otro, aquí van algunas pistas. Primero mira esta figura para recordar a qué se llama MÚLTIPLO y a qué se llama DIVISOR.

Un número es múltiplo de:

• 2, si el número es PAR
• 3, si la suma de las cifras de ese número es un múltiplo de 3
• 4, si la mitad del número es divisible entre 2
• 5, si la última cifra es un 0 o un 5
• 6, si es divisible entre 2 y 3
• 7, ¡no hay regla de divisibilidad para el 7! Hay que probar haciendo la división
• 8, si la mitad del número es divisible entre 4
• 9, si la suma de las cifras del número es un múltiplo de 9
• 10, si el número termina en 0
• 11, si la suma de las cifras pares es igual a la suma de las cifras impares
• 12, si es divisible entre 3 y 4

¡Buen cálculo!