Razón y Proporción. Repartos Proporcionales

Un buen ejemplo para explicar lo que significa la razón entre dos cantidades es fijarse en una maqueta. Recordad que tiene que ser una maqueta con la que el niño esté familiarizado y que pueda manipular, por ejemplo, un Lego, un circuito de Scalextric, ... cualquier construcción a escala.

Todas las medidas de la maqueta son proporcionales a las medidas en la realidad. Si en una maqueta de Scalextric un tramo de pista de 20 cm corresponde a un tramo de circuito de 200 m, decimos que la maqueta está hecha a escala 1:1000. Esto se calcula así (recuerda hacer el cambio de unidades para poder comparar la maqueta con la realidad):

Una razón es el cociente entre dos cantidades, expresadas en las mismas unidades de medida. 

La razón entre dos cantidades nos indica cuántas veces mayor o menor es una cantidad respecto a otra. 

Por ejemplo:

Lucía pesa 24 kg. Su padre pesa 72 kg. ¿Cuál es la razón entre el peso de Lucía y el peso de su padre?

Esta razón significa que por cada kilo que pesa Lucía su padre pesa 3 kilos. 

Muchas veces hay que repartir una cierta cantidad en partes proporcionales a una razón determinada. Estos repartos se llaman repartos proporcionales. Para entenderlo bien y poder explicarlo, fíjate en la siguiente situación:

                                                                                                   Un décimo de lotería de Navidad cuesta 20 €. Marta, Pedro y Víctor han comprado uno de la siguiente manera: Marta ha puesto 12 €, Pedro 4 € y Víctor 4 €. Si les toca el gordo, se llevarían 400 000 € por su décimo y lo repartirían proporcionalmente al dinero que ha puesto cada uno para comprarlo. ¿Cuánto le tocaría a cada uno?

• Primero vamos a calcular la razón del reparto. Eso se hace dividiendo lo que ha puesto cada uno entre el Máximo Común Divisor de los tres números. En este caso, los números son 12, 4 y 4, y el MCD (12, 4, 4) = 4            

                                                      

• Sumando los números que intervienen en la razón, obtenemos las partes en las que hay que repartir el premio: 

                                                          

• Dividimos el premio en cinco partes iguales:
  

• De cada una de esas partes, 3 le corresponden a Marta, 1 a Pedro y 1 a Víctor. Por tanto, Marta se llevaría:   
  

          y Pedro y Víctor se llevarían cada uno:   

¡¡¡ A VER SI NOS TOCA ALGO ESTE AÑO. SUERTE!!!

Raíces cuadradas: cálculo por acotaciones sucesivas

¿Quién se acuerda de cómo se hace una raíz cuadrada "a mano" (es decir, sin calculadora)? Es un procedimiento largo y muy poco intuitivo.
Aquí vamos a ver cómo calcular el valor de una raíz cuadrada mediante acotaciones sucesivas. La ventaja de este método es que no tenemos que saber hacer raíces cuadradas, basta con saber multiplicar, y eso sí que sabemos, ¿verdad?

Veamos un ejemplo:

Vamos a calcular aproximadamente el valor de

Empezamos acotando su valor entre dos números enteros:

En este momento no sabemos exactamente su valor, pero sí sabemos que está comprendido entre 7 y 8. 

Si necesitamos más precisión, podemos repetir el proceso "hilando más fino", añadiendo ahora la primera cifra decimal:

Ahora ya sabemos que es un número comprendido entre 7,3 y 7,4, que, para muchos cálculos, será una precisión más que suficiente.

De esta forma podemos seguir acotando hasta alcanzar la precisión que se requiera: centésimas, milésimas, ... ¡Date cuenta que todo lo que haces es multiplicar y acotar!

¡Buen cálculo!

Problema de la escalera

Un problema interesante acerca de múltiplos, divisores y mínimo común múltiplo es el que plantea mi amigo Emilio:

"Tres hermanos suben una escalera de 300 peldaños. El mayor, Dani, sube la escalera de 6 en 6 peldaños. El mediano, Javi, sube la escalera de 4 en 4 peldaños. El pequeño, Diego, sube de 2 en 2. ¿Qué peldaños pisan los tres hermanos?"

Cuando el hijo mayor de Emilio se puso a resolver este problema, lo hizo de la siguiente forma (como decían en mi colegio: "por la cuenta de la vieja"):

• Dani pisa los peldaños: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, .... (todos los múltiplos de 6)
• Javi pisa los peldaños: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, .... (todos los múltiplos de 4)
• Diego pisa los peldaños: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (todos los múltiplos de 2)

Una vez que se tienen las tres listas desarrolladas hasta 300, sólo hay que fijarse en los números que coinciden en las tres. Estos números son: 12, 24, 36, 48, 60, ... Esos son los peldaños que pisan los tres hermanos, y es la solución del problema.

Este razonamiento es perfecto, la única pega es que el desarrollo de la solución es largo, más largo cuánto más larga sea la escalera. Por ejemplo, con 300 escalones, la lista de Diego tiene 150 peldaños, la de Javi 75 peldaños y la de Dani 50 peldaños.

Otra manera de resolverlo es a través de los conceptos de múltiplo/divisor y mínimo común múltiplo:
El mínimo común múltiplo de 2, 4 y 6 es el número más pequeño que es múltiplo a la vez de 2, de 4 y de 6. Si no te acuerdas de cómo se calcula el mínimo común múltiplo lo puedes mirar aquí.

El primer escalón que van a pisar los tres hermanos es el número 12, qué es el múltiplo más pequeño de 2, 4 y 6. El siguiente es el número 24, el siguiente el 36, después el 48, ..., es decir, todos los múltiplos de 12.
Razonando de esta manera, nos podemos ahorrar el desarrollo de las tres listas de escalones que pisa cada uno de los hermanos, y, directamente, buscar todos los múltiplos de 12 hasta el 300:

...

Los escalones en los que coinciden los tres hermanos son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216, 228, 240, 252, 264, 276, 288 y 300

¡MUCHO MÁS CORTO SI PENSAMOS UN POCO ANTES DE EMPEZAR!

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar fracciones, estas tienen que tener el mismo denominador. Solo se pueden sumar/restar medios con medios, tercios con tercios, cuartos con cuartos, ...

Fíjate en la siguiente figura para entender el procedimiento:

Cuando las fracciones que se quieren sumar o restar no tienen el mismo denominador, primero tendremos que convertirlas en fracciones equivalentes con el mismo denominador. Fíjate en este ejemplo:

No podemos sumar "sextos" y "medios". Así que, antes de sumar, tenemos que transformar las fracciones originales en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, sin que el valor de la suma cambie.
Vamos a elegir como nuevo denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores:

La primera fracción ya está expresada en sextos, así que la dejamos como está. 

La segunda fracción hay que expresarla en su fracción equivalente con denominador 6:

Y la suma finalmente queda así:

Si quieres practicar, en este enlace tienes un montón de ejercicios resueltos sobre operaciones con fracciones, incluyendo uso de paréntesis y problemas: http://es.scribd.com/doc/70365610/U-8-Operaciones-Con-Fracciones

¡ SUPERFÁCIL!

Máximo común divisor (MCD)

Para entender qué buscas cuando te refieres al  "máximo común divisor" de dos números, cambia el orden de estas tres palabras:

"divisor común máximo"

es decir, buscas el divisor común a dos números que sea lo más grande posible (como sucede con el mínimo común múltiplo es más fácil si lo dices al revés).
Vamos a poner un ejemplo:
Queremos buscar el MCD de 56 y 70

• Lo primero que vamos a hacer es descomponer 56 y 70 en factores primos, así:

• Ahora vamos a colocar en dos diagramas los factores que han resultado de la descomposición factorial de cada número. En el diagrama rosa colocamos los factores de 56 y en el azul los de 70. Fíjate que los factores 2 y 7 aparecen en las dos descomposiciones (son factores comunes a 56 y 70). Para indicar esto, solapamos los dos diagramas y escribimos estos factores comunes en ese solapamiento (en teoría de conjuntos, a ese solapamiento se le llama intersección). 

• Fíjate que hasta aquí el procedimiento es el mismo que para hallar el mínimo común múltiplo.
• El MCD de 56 y 70 está formado por los factores comunes que aparecen en el diagrama anterior, los que aparecen en la zona de la intersección de los dos conjuntos. Es decir:

¡Superfácil!

mínimo común múltiplo (mcm)

Para entender qué buscas cuando te refieres al  "mínimo común múltiplo" de dos números, cambia el orden de estas tres palabras:

"múltiplo común mínimo"

es decir, buscas el múltiplo común a dos números que sea lo más pequeño posible (¿a qué es más fácil si lo dices al revés?).
Vamos a poner un ejemplo:
Queremos buscar el mcm de 56 y 70

• Lo primero que vamos a hacer es descomponer 56 y 70 en factores primos, así:

• Ahora vamos a colocar en dos diagramas los factores que han resultado de la descomposición factorial de cada número. En el diagrama rosa colocamos los factores de 56 y en el azul los de 70. Fíjate que los factores 2 y  7 aparecen en las dos descomposiciones (son factores comunes a 56 y 70). Para indicar esto, solapamos los dos diagramas y escribimos estos factores comunes en ese solapamiento (en teoría de conjuntos, a ese solapamiento se le llama intersección). 

• El mcm de 56 y 70 está formado por todos los factores comunes y no comunes que aparecen en el diagrama anterior. Es decir:

Superfácil, ¿verdad? ¡Buen cálculo!

Números Primos

Un número primo es el que sólo tiene dos divisores, que son él mismo y a la unidad.

Por ejemplo, 13 es un número primo, porque sus únicos divisores son 1 y 13.
Pero 9 no es un número primo, porque sus divisores son 1, 3 y 9.

Para hallar los números primos entre los 100 primeros números enteros puedes seguir este procedimiento:

• Construye una tabla 10 x 10 y escribe en orden todos los números enteros del 1 al 100
• Tacha el 1, que no es primo, porque no cumple el criterio de tener dos divisores, (aunque en esto hay distintas opiniones)
• Tacha todos los múltiplos de 2 (menos el 2): tacha el 4, el 6, el 8, el 10, ...
• El siguiente número no tachado que te encontrarás es el 3. Tacha todos sus múltiplos (menos el 3), que no estén ya tachados: tacha el 9, el 15, el 21, ...
• El siguiente que te encontrarás sin tachar es el 5. Tacha todos sus múltiplos (menos el 5), que no estén todavía tachados: tacha el 25, el 35, ...
• Haz lo mismo con los siguientes números que no estén tachados: con el 7, con el 11, con el 13, ... hasta que se te acaben las posibilidades. 

El resultado que tienes que haber obtenido es la siguiente tabla (los números primos son los que ves en verde):

Este procedimiento se llama CRIBA de ERATÓSTENES. 

Criterios de divisibilidad

Si no te acuerdas de cuándo un número es divisible entre otro, aquí van algunas pistas. Primero mira esta figura para recordar a qué se llama MÚLTIPLO y a qué se llama DIVISOR.

Un número es múltiplo de:

• 2, si el número es PAR
• 3, si la suma de las cifras de ese número es un múltiplo de 3
• 4, si la mitad del número es divisible entre 2
• 5, si la última cifra es un 0 o un 5
• 6, si es divisible entre 2 y 3
• 7, ¡no hay regla de divisibilidad para el 7! Hay que probar haciendo la división
• 8, si la mitad del número es divisible entre 4
• 9, si la suma de las cifras del número es un múltiplo de 9
• 10, si el número termina en 0
• 11, si la suma de las cifras pares es igual a la suma de las cifras impares
• 12, si es divisible entre 3 y 4

¡Buen cálculo!