Teorema de Pitágoras. Demostración

No hace falta presentación para el teorema de Pitágoras, ese que dice que en un triángulo rectángulo "el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Es uno de los teoremas más conocidos y más recordados de la geometría. Su demostración se basa en la relación que hay entre las áreas de los cuadrados que se generan con cada lado del triángulo que tenemos entre manos. Para entenderlo, mirad esta figura:

El área del cuadrado verde es la suma de las áreas de los cuadrados naranja y rojo: 

Y esto pasa en todos los triángulos rectángulos que uno pueda construir. 

¡Mirad qué bonita es esta demostración con agua! Para verla pinchad aquí.

Raíces cuadradas: cálculo por acotaciones sucesivas

¿Quién se acuerda de cómo se hace una raíz cuadrada "a mano" (es decir, sin calculadora)? Es un procedimiento largo y muy poco intuitivo.
Aquí vamos a ver cómo calcular el valor de una raíz cuadrada mediante acotaciones sucesivas. La ventaja de este método es que no tenemos que saber hacer raíces cuadradas, basta con saber multiplicar, y eso sí que sabemos, ¿verdad?

Veamos un ejemplo:

Vamos a calcular aproximadamente el valor de

Empezamos acotando su valor entre dos números enteros:

En este momento no sabemos exactamente su valor, pero sí sabemos que está comprendido entre 7 y 8. 

Si necesitamos más precisión, podemos repetir el proceso "hilando más fino", añadiendo ahora la primera cifra decimal:

Ahora ya sabemos que es un número comprendido entre 7,3 y 7,4, que, para muchos cálculos, será una precisión más que suficiente.

De esta forma podemos seguir acotando hasta alcanzar la precisión que se requiera: centésimas, milésimas, ... ¡Date cuenta que todo lo que haces es multiplicar y acotar!

¡Buen cálculo!

Funciones polinómicas

Desde este post sólo quiero remitiros a otro post en el que Clara Grima Ruiz y Raquel García Ulldemolins, a través de Mati, una profe de mates muy particular, explican de maravilla:

• qué es una función polinómica
• cómo averiguar la expresión de la función, (esto significa, calcular el valor numérico de los coeficientes), sabiendo algunos puntos por los que pasa. 

Si quieres descubrirlo, pincha aquí.

¡Gracias, Clara y Raquel, me parecen fantásticos vuestros blogs!

Notación científica

La luz viaja por el espacio a una velocidad de 300 000 000 m/s. Al escribir esta cifra es fácil olvidar o añadir algún cero  (¡hay ocho ceros!). Por eso, los científicos prefieren escribir este valor así:  

Así es más fácil no equivocarse, ¿no te parece?.

La notación científica es una manera abreviada de escribir números muy grandes y muy pequeños. Está basada en las potencias de base 10, así que lo mejor es empezar con un breve repaso al producto por potencias de base 10 con exponentes positivos y negativos:

• Para multiplicar un número por una potencia de 10 de exponente positivo (n), debes mover la coma decimal n posiciones hacia la derecha. El resultado es un número más grande:

                                                                     
                                                                    

• Para multiplicar un número por una potencia de 10 de exponente negativo (n), debes mover la coma decimal n posiciones hacia la izquierda. El resultado es un número más pequeño:
   
  

Entender estos productos, nos permite expresar números muy grandes y muy pequeños en notación científica:

• Para expresar un número muy grande en notación científica escríbelo como un número entre 1 y 10 (excluido el 10) multiplicado por una potencia de 10 de exponente positivo:

(fíjate que en el número original, la cifra 2 ocupa la posición 8 de las cifras enteras)

(fíjate que en el número original, la cifra 3 ocupa la posición 14 de las cifras enteras)

• Para expresar un número muy pequeño en notación científica escríbelo como un número entre 1 y 10 (excluido el 10) multiplicado por una potencia de 10 de exponente negativo:

(fíjate que en el número original, la cifra 4 ocupa la posición 3 a la derecha de la coma decimal)

(fíjate que en el número original, la cifra 3 ocupa la posición 6 a la derecha de la coma decimal)

El valor del radio del electrón según la teoría relativista es aproximadamente  

es decir,  0,000 000 000 000 003 m. 

¿Cuál de las dos expresiones te parece más útil? ¿Por qué? 

Páginas interactivas de Trigonometría

La geometría no se puede entender sin un soporte visual. Para familiarizarse con la trigonometría de 4º de ESO lo mejor es poder manipular las figuras como uno quiera: abrir y cerrar ángulos, estirar y encoger los triángulos, ... y ver qué pasa con las razones trigonométricas. Cuando yo estudiaba BUP no quedaba más remedio que dibujar, dibujar y dibujar cientos de triángulos. Actualmente hay un montón de aplicaciones interactivas que permiten realizar cambios sobre una figura inicial.

A mi me gusta mucho esta página:

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/trigono.htm

Para que funcione en tu ordenador tienes que tener instalados dos programas:

• GeoGebra, que es un programa para dibujar figuras geométricas, y que puedes descargar gratis desde su página web: http://www.geogebra.org/cms/es/
• Java, que es una aplicación de Oracle, sobre la que funciona todo esto. También es software libre y puedes descargarla aquí: http://www.java.com/es/download/index.jsp

Prueba a jugar con las figuras que te proponen y entenderás de manera visual:

• qué es el seno, coseno y tangente de un ángulo, y cuáles son sus valores para los diferentes ángulos. 
• qué es un radián y qué relación tiene con los grados sexagesimales
• cómo se generan y qué representan las funciones seno, coseno y tangente en los ejes cartesianos

¡Prueba sin miedo!