Problema de la escalera

Un problema interesante acerca de múltiplos, divisores y mínimo común múltiplo es el que plantea mi amigo Emilio:

"Tres hermanos suben una escalera de 300 peldaños. El mayor, Dani, sube la escalera de 6 en 6 peldaños. El mediano, Javi, sube la escalera de 4 en 4 peldaños. El pequeño, Diego, sube de 2 en 2. ¿Qué peldaños pisan los tres hermanos?"

Cuando el hijo mayor de Emilio se puso a resolver este problema, lo hizo de la siguiente forma (como decían en mi colegio: "por la cuenta de la vieja"):

• Dani pisa los peldaños: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, .... (todos los múltiplos de 6)
• Javi pisa los peldaños: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, .... (todos los múltiplos de 4)
• Diego pisa los peldaños: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (todos los múltiplos de 2)

Una vez que se tienen las tres listas desarrolladas hasta 300, sólo hay que fijarse en los números que coinciden en las tres. Estos números son: 12, 24, 36, 48, 60, ... Esos son los peldaños que pisan los tres hermanos, y es la solución del problema.

Este razonamiento es perfecto, la única pega es que el desarrollo de la solución es largo, más largo cuánto más larga sea la escalera. Por ejemplo, con 300 escalones, la lista de Diego tiene 150 peldaños, la de Javi 75 peldaños y la de Dani 50 peldaños.

Otra manera de resolverlo es a través de los conceptos de múltiplo/divisor y mínimo común múltiplo:
El mínimo común múltiplo de 2, 4 y 6 es el número más pequeño que es múltiplo a la vez de 2, de 4 y de 6. Si no te acuerdas de cómo se calcula el mínimo común múltiplo lo puedes mirar aquí.

El primer escalón que van a pisar los tres hermanos es el número 12, qué es el múltiplo más pequeño de 2, 4 y 6. El siguiente es el número 24, el siguiente el 36, después el 48, ..., es decir, todos los múltiplos de 12.
Razonando de esta manera, nos podemos ahorrar el desarrollo de las tres listas de escalones que pisa cada uno de los hermanos, y, directamente, buscar todos los múltiplos de 12 hasta el 300:

...

Los escalones en los que coinciden los tres hermanos son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216, 228, 240, 252, 264, 276, 288 y 300

¡MUCHO MÁS CORTO SI PENSAMOS UN POCO ANTES DE EMPEZAR!

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar fracciones, estas tienen que tener el mismo denominador. Solo se pueden sumar/restar medios con medios, tercios con tercios, cuartos con cuartos, ...

Fíjate en la siguiente figura para entender el procedimiento:

Cuando las fracciones que se quieren sumar o restar no tienen el mismo denominador, primero tendremos que convertirlas en fracciones equivalentes con el mismo denominador. Fíjate en este ejemplo:

No podemos sumar "sextos" y "medios". Así que, antes de sumar, tenemos que transformar las fracciones originales en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, sin que el valor de la suma cambie.
Vamos a elegir como nuevo denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores:

La primera fracción ya está expresada en sextos, así que la dejamos como está. 

La segunda fracción hay que expresarla en su fracción equivalente con denominador 6:

Y la suma finalmente queda así:

Si quieres practicar, en este enlace tienes un montón de ejercicios resueltos sobre operaciones con fracciones, incluyendo uso de paréntesis y problemas: http://es.scribd.com/doc/70365610/U-8-Operaciones-Con-Fracciones

¡ SUPERFÁCIL!

mínimo común múltiplo (mcm)

Para entender qué buscas cuando te refieres al  "mínimo común múltiplo" de dos números, cambia el orden de estas tres palabras:

"múltiplo común mínimo"

es decir, buscas el múltiplo común a dos números que sea lo más pequeño posible (¿a qué es más fácil si lo dices al revés?).
Vamos a poner un ejemplo:
Queremos buscar el mcm de 56 y 70

• Lo primero que vamos a hacer es descomponer 56 y 70 en factores primos, así:

• Ahora vamos a colocar en dos diagramas los factores que han resultado de la descomposición factorial de cada número. En el diagrama rosa colocamos los factores de 56 y en el azul los de 70. Fíjate que los factores 2 y  7 aparecen en las dos descomposiciones (son factores comunes a 56 y 70). Para indicar esto, solapamos los dos diagramas y escribimos estos factores comunes en ese solapamiento (en teoría de conjuntos, a ese solapamiento se le llama intersección). 

• El mcm de 56 y 70 está formado por todos los factores comunes y no comunes que aparecen en el diagrama anterior. Es decir:

Superfácil, ¿verdad? ¡Buen cálculo!