Convertir fracciones en decimales y al revés

Todas las fracciones se pueden escribir en forma de número decimal.
Sólo hay que dividir el numerador entre el denominador. Si lo hacemos, veremos que nos pueden pasar varias cosas:

• El resultado puede ser un número entero:

• puede ser un decimal exacto:

• o un decimal periódico:

 

Pero, ¡ojo!, no todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción. Sólo podemos escribir en forma de fracción los decimales exactos y los decimales periódicos (ya veremos en otro post cuáles no y porqué). Veamos algunos ejemplos:

• Cuando el decimal es exacto el procedimiento es muy fácil, gracias a nuestro sistema decimal de numeración:

(fíjate que en el segundo ejemplo, hemos "reducido" la fracción dividiendo el numerador y el denominador entre 2, hasta llegar a la fracción irreducible). A estas fracciones que obtenemos se les llama fracción generatriz de un número decimal.

• Cuando el decimal es periódico no es tan obvio a simple vista, pero fíjate qué fácil es si nos quitamos el periodo de encima mediante el siguiente procedimiento:

Vamos a expresar como fracción el número 

Para que se entienda bien lo que vamos a hacer con este número, vamos a llamarlo "x": 

Vamos a multiplicar el número por 10, de forma que "pasamos" un 4 del periodo a la parte entera:

Y ahora restamos las dos ecuaciones anteriores:

Y ya sólo falta despejar "x" de esta ecuación tan fácil:

¡¡¡LO HEMOS CONSEGUIDO!!!

• Y... ¡más difícil todavía! Cuando el número decimal tiene anteperiodo (así se llaman las cifras decimales que no se repiten y que van antes del periodo), el procedimiento tiene un pasito más. Otro ejemplo:

Ahora vamos a calcular la fracción generatriz del número

y, como antes, lo vamos a llamar "x":

Lo multiplicamos por 10 para "pasar" la cifra del anteperiodo a la parte entera:

Y lo multiplicamos por 100 para "pasar" la cifra del periodo a la parte entera:

Restamos las dos ecuaciones anteriores:

Y sólo queda despejar la "x" de esta ecuación tan facilona:

(fíjate que, siempre que sea posible, la fracción obtenida se "reduce" hasta su fracción irreducible)

¡¡¡ CONSEGUIDO !!!

Si te vas a poner a hacer ejercicios y quieres comprobar tus resultados, puedes usar el generador de fracciones generatriz del blog NoSoloMates. Pincha aquí. 

PARA VALIENTES:

Si has llegado hasta aquí, ¿por qué no pruebas algo que te va a sorprender? 

Trata de calcular la fracción generatriz de 0,99999..... y comprobarás que:

¿Curioso, verdad?

Si quieres otra demostración, con anécdota incluida, pincha aquí.

¡BUEN CÁLCULO!

Razón y Proporción. Repartos Proporcionales

Un buen ejemplo para explicar lo que significa la razón entre dos cantidades es fijarse en una maqueta. Recordad que tiene que ser una maqueta con la que el niño esté familiarizado y que pueda manipular, por ejemplo, un Lego, un circuito de Scalextric, ... cualquier construcción a escala.

Todas las medidas de la maqueta son proporcionales a las medidas en la realidad. Si en una maqueta de Scalextric un tramo de pista de 20 cm corresponde a un tramo de circuito de 200 m, decimos que la maqueta está hecha a escala 1:1000. Esto se calcula así (recuerda hacer el cambio de unidades para poder comparar la maqueta con la realidad):

Una razón es el cociente entre dos cantidades, expresadas en las mismas unidades de medida. 

La razón entre dos cantidades nos indica cuántas veces mayor o menor es una cantidad respecto a otra. 

Por ejemplo:

Lucía pesa 24 kg. Su padre pesa 72 kg. ¿Cuál es la razón entre el peso de Lucía y el peso de su padre?

Esta razón significa que por cada kilo que pesa Lucía su padre pesa 3 kilos. 

Muchas veces hay que repartir una cierta cantidad en partes proporcionales a una razón determinada. Estos repartos se llaman repartos proporcionales. Para entenderlo bien y poder explicarlo, fíjate en la siguiente situación:

                                                                                                   Un décimo de lotería de Navidad cuesta 20 €. Marta, Pedro y Víctor han comprado uno de la siguiente manera: Marta ha puesto 12 €, Pedro 4 € y Víctor 4 €. Si les toca el gordo, se llevarían 400 000 € por su décimo y lo repartirían proporcionalmente al dinero que ha puesto cada uno para comprarlo. ¿Cuánto le tocaría a cada uno?

• Primero vamos a calcular la razón del reparto. Eso se hace dividiendo lo que ha puesto cada uno entre el Máximo Común Divisor de los tres números. En este caso, los números son 12, 4 y 4, y el MCD (12, 4, 4) = 4            

                                                      

• Sumando los números que intervienen en la razón, obtenemos las partes en las que hay que repartir el premio: 

                                                          

• Dividimos el premio en cinco partes iguales:
  

• De cada una de esas partes, 3 le corresponden a Marta, 1 a Pedro y 1 a Víctor. Por tanto, Marta se llevaría:   
  

          y Pedro y Víctor se llevarían cada uno:   

¡¡¡ A VER SI NOS TOCA ALGO ESTE AÑO. SUERTE!!!

Teorema de Pitágoras. Demostración

No hace falta presentación para el teorema de Pitágoras, ese que dice que en un triángulo rectángulo "el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Es uno de los teoremas más conocidos y más recordados de la geometría. Su demostración se basa en la relación que hay entre las áreas de los cuadrados que se generan con cada lado del triángulo que tenemos entre manos. Para entenderlo, mirad esta figura:

El área del cuadrado verde es la suma de las áreas de los cuadrados naranja y rojo: 

Y esto pasa en todos los triángulos rectángulos que uno pueda construir. 

¡Mirad qué bonita es esta demostración con agua! Para verla pinchad aquí.

Raíces cuadradas: cálculo por acotaciones sucesivas

¿Quién se acuerda de cómo se hace una raíz cuadrada "a mano" (es decir, sin calculadora)? Es un procedimiento largo y muy poco intuitivo.
Aquí vamos a ver cómo calcular el valor de una raíz cuadrada mediante acotaciones sucesivas. La ventaja de este método es que no tenemos que saber hacer raíces cuadradas, basta con saber multiplicar, y eso sí que sabemos, ¿verdad?

Veamos un ejemplo:

Vamos a calcular aproximadamente el valor de

Empezamos acotando su valor entre dos números enteros:

En este momento no sabemos exactamente su valor, pero sí sabemos que está comprendido entre 7 y 8. 

Si necesitamos más precisión, podemos repetir el proceso "hilando más fino", añadiendo ahora la primera cifra decimal:

Ahora ya sabemos que es un número comprendido entre 7,3 y 7,4, que, para muchos cálculos, será una precisión más que suficiente.

De esta forma podemos seguir acotando hasta alcanzar la precisión que se requiera: centésimas, milésimas, ... ¡Date cuenta que todo lo que haces es multiplicar y acotar!

¡Buen cálculo!

Funciones polinómicas

Desde este post sólo quiero remitiros a otro post en el que Clara Grima Ruiz y Raquel García Ulldemolins, a través de Mati, una profe de mates muy particular, explican de maravilla:

• qué es una función polinómica
• cómo averiguar la expresión de la función, (esto significa, calcular el valor numérico de los coeficientes), sabiendo algunos puntos por los que pasa. 

Si quieres descubrirlo, pincha aquí.

¡Gracias, Clara y Raquel, me parecen fantásticos vuestros blogs!

Notación científica

La luz viaja por el espacio a una velocidad de 300 000 000 m/s. Al escribir esta cifra es fácil olvidar o añadir algún cero  (¡hay ocho ceros!). Por eso, los científicos prefieren escribir este valor así:  

Así es más fácil no equivocarse, ¿no te parece?.

La notación científica es una manera abreviada de escribir números muy grandes y muy pequeños. Está basada en las potencias de base 10, así que lo mejor es empezar con un breve repaso al producto por potencias de base 10 con exponentes positivos y negativos:

• Para multiplicar un número por una potencia de 10 de exponente positivo (n), debes mover la coma decimal n posiciones hacia la derecha. El resultado es un número más grande:

                                                                     
                                                                    

• Para multiplicar un número por una potencia de 10 de exponente negativo (n), debes mover la coma decimal n posiciones hacia la izquierda. El resultado es un número más pequeño:
   
  

Entender estos productos, nos permite expresar números muy grandes y muy pequeños en notación científica:

• Para expresar un número muy grande en notación científica escríbelo como un número entre 1 y 10 (excluido el 10) multiplicado por una potencia de 10 de exponente positivo:

(fíjate que en el número original, la cifra 2 ocupa la posición 8 de las cifras enteras)

(fíjate que en el número original, la cifra 3 ocupa la posición 14 de las cifras enteras)

• Para expresar un número muy pequeño en notación científica escríbelo como un número entre 1 y 10 (excluido el 10) multiplicado por una potencia de 10 de exponente negativo:

(fíjate que en el número original, la cifra 4 ocupa la posición 3 a la derecha de la coma decimal)

(fíjate que en el número original, la cifra 3 ocupa la posición 6 a la derecha de la coma decimal)

El valor del radio del electrón según la teoría relativista es aproximadamente  

es decir,  0,000 000 000 000 003 m. 

¿Cuál de las dos expresiones te parece más útil? ¿Por qué?