Convertir fracciones en decimales y al revés

Todas las fracciones se pueden escribir en forma de número decimal.
Sólo hay que dividir el numerador entre el denominador. Si lo hacemos, veremos que nos pueden pasar varias cosas:

• El resultado puede ser un número entero:

• puede ser un decimal exacto:

• o un decimal periódico:

 

Pero, ¡ojo!, no todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción. Sólo podemos escribir en forma de fracción los decimales exactos y los decimales periódicos (ya veremos en otro post cuáles no y porqué). Veamos algunos ejemplos:

• Cuando el decimal es exacto el procedimiento es muy fácil, gracias a nuestro sistema decimal de numeración:

(fíjate que en el segundo ejemplo, hemos "reducido" la fracción dividiendo el numerador y el denominador entre 2, hasta llegar a la fracción irreducible). A estas fracciones que obtenemos se les llama fracción generatriz de un número decimal.

• Cuando el decimal es periódico no es tan obvio a simple vista, pero fíjate qué fácil es si nos quitamos el periodo de encima mediante el siguiente procedimiento:

Vamos a expresar como fracción el número 

Para que se entienda bien lo que vamos a hacer con este número, vamos a llamarlo "x": 

Vamos a multiplicar el número por 10, de forma que "pasamos" un 4 del periodo a la parte entera:

Y ahora restamos las dos ecuaciones anteriores:

Y ya sólo falta despejar "x" de esta ecuación tan fácil:

¡¡¡LO HEMOS CONSEGUIDO!!!

• Y... ¡más difícil todavía! Cuando el número decimal tiene anteperiodo (así se llaman las cifras decimales que no se repiten y que van antes del periodo), el procedimiento tiene un pasito más. Otro ejemplo:

Ahora vamos a calcular la fracción generatriz del número

y, como antes, lo vamos a llamar "x":

Lo multiplicamos por 10 para "pasar" la cifra del anteperiodo a la parte entera:

Y lo multiplicamos por 100 para "pasar" la cifra del periodo a la parte entera:

Restamos las dos ecuaciones anteriores:

Y sólo queda despejar la "x" de esta ecuación tan facilona:

(fíjate que, siempre que sea posible, la fracción obtenida se "reduce" hasta su fracción irreducible)

¡¡¡ CONSEGUIDO !!!

Si te vas a poner a hacer ejercicios y quieres comprobar tus resultados, puedes usar el generador de fracciones generatriz del blog NoSoloMates. Pincha aquí. 

PARA VALIENTES:

Si has llegado hasta aquí, ¿por qué no pruebas algo que te va a sorprender? 

Trata de calcular la fracción generatriz de 0,99999..... y comprobarás que:

¿Curioso, verdad?

Si quieres otra demostración, con anécdota incluida, pincha aquí.

¡BUEN CÁLCULO!

Razón y Proporción. Repartos Proporcionales

Un buen ejemplo para explicar lo que significa la razón entre dos cantidades es fijarse en una maqueta. Recordad que tiene que ser una maqueta con la que el niño esté familiarizado y que pueda manipular, por ejemplo, un Lego, un circuito de Scalextric, ... cualquier construcción a escala.

Todas las medidas de la maqueta son proporcionales a las medidas en la realidad. Si en una maqueta de Scalextric un tramo de pista de 20 cm corresponde a un tramo de circuito de 200 m, decimos que la maqueta está hecha a escala 1:1000. Esto se calcula así (recuerda hacer el cambio de unidades para poder comparar la maqueta con la realidad):

Una razón es el cociente entre dos cantidades, expresadas en las mismas unidades de medida. 

La razón entre dos cantidades nos indica cuántas veces mayor o menor es una cantidad respecto a otra. 

Por ejemplo:

Lucía pesa 24 kg. Su padre pesa 72 kg. ¿Cuál es la razón entre el peso de Lucía y el peso de su padre?

Esta razón significa que por cada kilo que pesa Lucía su padre pesa 3 kilos. 

Muchas veces hay que repartir una cierta cantidad en partes proporcionales a una razón determinada. Estos repartos se llaman repartos proporcionales. Para entenderlo bien y poder explicarlo, fíjate en la siguiente situación:

                                                                                                   Un décimo de lotería de Navidad cuesta 20 €. Marta, Pedro y Víctor han comprado uno de la siguiente manera: Marta ha puesto 12 €, Pedro 4 € y Víctor 4 €. Si les toca el gordo, se llevarían 400 000 € por su décimo y lo repartirían proporcionalmente al dinero que ha puesto cada uno para comprarlo. ¿Cuánto le tocaría a cada uno?

• Primero vamos a calcular la razón del reparto. Eso se hace dividiendo lo que ha puesto cada uno entre el Máximo Común Divisor de los tres números. En este caso, los números son 12, 4 y 4, y el MCD (12, 4, 4) = 4            

                                                      

• Sumando los números que intervienen en la razón, obtenemos las partes en las que hay que repartir el premio: 

                                                          

• Dividimos el premio en cinco partes iguales:
  

• De cada una de esas partes, 3 le corresponden a Marta, 1 a Pedro y 1 a Víctor. Por tanto, Marta se llevaría:   
  

          y Pedro y Víctor se llevarían cada uno:   

¡¡¡ A VER SI NOS TOCA ALGO ESTE AÑO. SUERTE!!!

Raíces cuadradas: cálculo por acotaciones sucesivas

¿Quién se acuerda de cómo se hace una raíz cuadrada "a mano" (es decir, sin calculadora)? Es un procedimiento largo y muy poco intuitivo.
Aquí vamos a ver cómo calcular el valor de una raíz cuadrada mediante acotaciones sucesivas. La ventaja de este método es que no tenemos que saber hacer raíces cuadradas, basta con saber multiplicar, y eso sí que sabemos, ¿verdad?

Veamos un ejemplo:

Vamos a calcular aproximadamente el valor de

Empezamos acotando su valor entre dos números enteros:

En este momento no sabemos exactamente su valor, pero sí sabemos que está comprendido entre 7 y 8. 

Si necesitamos más precisión, podemos repetir el proceso "hilando más fino", añadiendo ahora la primera cifra decimal:

Ahora ya sabemos que es un número comprendido entre 7,3 y 7,4, que, para muchos cálculos, será una precisión más que suficiente.

De esta forma podemos seguir acotando hasta alcanzar la precisión que se requiera: centésimas, milésimas, ... ¡Date cuenta que todo lo que haces es multiplicar y acotar!

¡Buen cálculo!

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar fracciones, estas tienen que tener el mismo denominador. Solo se pueden sumar/restar medios con medios, tercios con tercios, cuartos con cuartos, ...

Fíjate en la siguiente figura para entender el procedimiento:

Cuando las fracciones que se quieren sumar o restar no tienen el mismo denominador, primero tendremos que convertirlas en fracciones equivalentes con el mismo denominador. Fíjate en este ejemplo:

No podemos sumar "sextos" y "medios". Así que, antes de sumar, tenemos que transformar las fracciones originales en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, sin que el valor de la suma cambie.
Vamos a elegir como nuevo denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores:

La primera fracción ya está expresada en sextos, así que la dejamos como está. 

La segunda fracción hay que expresarla en su fracción equivalente con denominador 6:

Y la suma finalmente queda así:

Si quieres practicar, en este enlace tienes un montón de ejercicios resueltos sobre operaciones con fracciones, incluyendo uso de paréntesis y problemas: http://es.scribd.com/doc/70365610/U-8-Operaciones-Con-Fracciones

¡ SUPERFÁCIL!

Máximo común divisor (MCD)

Para entender qué buscas cuando te refieres al  "máximo común divisor" de dos números, cambia el orden de estas tres palabras:

"divisor común máximo"

es decir, buscas el divisor común a dos números que sea lo más grande posible (como sucede con el mínimo común múltiplo es más fácil si lo dices al revés).
Vamos a poner un ejemplo:
Queremos buscar el MCD de 56 y 70

• Lo primero que vamos a hacer es descomponer 56 y 70 en factores primos, así:

• Ahora vamos a colocar en dos diagramas los factores que han resultado de la descomposición factorial de cada número. En el diagrama rosa colocamos los factores de 56 y en el azul los de 70. Fíjate que los factores 2 y 7 aparecen en las dos descomposiciones (son factores comunes a 56 y 70). Para indicar esto, solapamos los dos diagramas y escribimos estos factores comunes en ese solapamiento (en teoría de conjuntos, a ese solapamiento se le llama intersección). 

• Fíjate que hasta aquí el procedimiento es el mismo que para hallar el mínimo común múltiplo.
• El MCD de 56 y 70 está formado por los factores comunes que aparecen en el diagrama anterior, los que aparecen en la zona de la intersección de los dos conjuntos. Es decir:

¡Superfácil!

mínimo común múltiplo (mcm)

Para entender qué buscas cuando te refieres al  "mínimo común múltiplo" de dos números, cambia el orden de estas tres palabras:

"múltiplo común mínimo"

es decir, buscas el múltiplo común a dos números que sea lo más pequeño posible (¿a qué es más fácil si lo dices al revés?).
Vamos a poner un ejemplo:
Queremos buscar el mcm de 56 y 70

• Lo primero que vamos a hacer es descomponer 56 y 70 en factores primos, así:

• Ahora vamos a colocar en dos diagramas los factores que han resultado de la descomposición factorial de cada número. En el diagrama rosa colocamos los factores de 56 y en el azul los de 70. Fíjate que los factores 2 y  7 aparecen en las dos descomposiciones (son factores comunes a 56 y 70). Para indicar esto, solapamos los dos diagramas y escribimos estos factores comunes en ese solapamiento (en teoría de conjuntos, a ese solapamiento se le llama intersección). 

• El mcm de 56 y 70 está formado por todos los factores comunes y no comunes que aparecen en el diagrama anterior. Es decir:

Superfácil, ¿verdad? ¡Buen cálculo!