Tablas de multiplicar: otra forma de verlas

Aprender las tablas de multiplicar es la base para poder calcular productos, divisiones, potencias, raíces, ... Por mucho ordenador y calculadora que nos rodee, yo pienso que sigue siendo muy importante automatizar las tablas, es un cálculo demasiado básico y muy frecuente como para renunciar a grabarlo en la memoria.

Hoy os quiero presentar otra manera de escribir las tablas. Os sugiero que lo probeis con los niños, tanto si están aprendiendo las tablas de multiplicar como si ya se las saben, porque es una manera de relacionarlas entre sí, y aparecen pautas y conceptos como la propiedad conmutativa y los cuadrados perfectos de una manera muy natural, como veremos a continuación.

Estos son los pasos a seguir:

• Construye una tabla 10 x 10  y etiqueta filas y columnas con los números del 1 al 10, en orden ascendente, como en la foto:

¡Cien celdas vacías! ¡Qué miedo!

• En cada celda de esta tabla vamos a escribir el resultado de multiplicar el número de fila por el número de columna. Empezamos con la fila 1: vamos a recorrerla de izquierda a derecha preguntando a nuestro niño ¿1 por 1? y escribimos el resultado en la primera celda de la fila; ¿1 por 2? y escribimos el resultado en la segunda celda de la fila; ¿1 por 3? y lo que nos diga lo ponemos en la tercera celda de la fila, así hasta completar la fila del 1. Hacemos lo mismo con la columna 1, de arriba a abajo. La tabla ahora tiene que tener esta pinta:                                                                                                                                                                                                                             



                                                                      Tabla del uno en horizontal y en vertical                                                                                             

• Hacemos lo mismo con la fila 2 y la columna 2, haciendo notar a nuestro niño que el primer resultado ya lo tiene escrito de cuando escribió la tabla del uno, "porque da lo mismo calcular 1 por 2 que 2 por 1" (y esto es la propiedad conmutativa, aunque no se nombre, pero se aprende). Podemos usar distintos colores, como en la foto:

El "2 por 1"  ya lo tenemos de antes

• Ahora la tabla del tres, en la fila 3 y en la columna 3, yo he vuelto a cambiar de color y he usado el verde. Volvemos a hacer notar al niño que ya tenemos escritos los resultados de 3 por 1, y 3 por 2. También es bastante alentador que se de cuenta de que de las 100 celdas vacías que teníamos al principio ya sólo quedan por rellenar 49, y eso sólo con las tres primeras tablas, que están chupadas...

Sólo quedan 49 celdas vacías. ¡¡¡ Ya hemos rellenado 51, más de la mitad, sólo con tres tablas !!!

• Ahora que ya tenemos la mecánica cogida, yo, si pudiese elegir, continuaría por las tablas del cinco y del diez, porque basta con mirar la tabla para darse cuenta de la pauta tan fácil que siguen: 5, 10, 15, ...(contar de cinco en cinco, números que acaban en 5 y en 0), y 10, 20, 30, ... (contar de diez en diez, números que acaban en 0). Estas pautas son las que luego se verán como reglas para calcular si un número es múltiplo de otro, como podeis consultar aquí.

                                  

                                        Añadimos la tabla del cinco ...

                          

                                       ... y la del diez. ¡Ya sólo quedan 25 números para saberse las diez tablas!

• Volvemos al orden convencional y rellenamos la fila 4 y la columna 4 con los resultados de la tabla del cuatro. Después de hacerlo, nos daremos cuenta de que sólo falta un cuadradito de 16 celdas para completar toda la tarea. Aquí tenemos que convencer a nuestro niño de que lo de las tablas de multiplicar ¡no es para tanto!, y que cada vez es más fácil, porque de cada tabla que vamos añadiendo tenemos más escrito de antemano. Por ejemplo, para completar la tabla del cuatro, sólo nos ha hecho falta escribir cinco números nuevos: 

Añadimos la tabla del cuatro  ¡Qué poco queda!

• Y otro salto en el orden tradicional. Ahora que tenemos tantos números escritos, ¿por qué no atreverse a descubrir la pauta que sigue la tabla del nueve? Si nos fijamos en la fila 9 o en la columna 9 veremos que cada resultado sube una decena con respecto al anterior y baja una unidad: 9, 18, 27, 36, 45, ... (¡claro, si sumásemos 10 unidades en cada paso saldría 9, 19, 29, ..., pero cómo sólo sumamos 9 unidades...! este tipo de razonamientos son los que podeis ir metiendo como quien no quiere la cosa...). ¿Eres capaz de seguir esa pauta y rellenar lo que queda?

¡Claro que sí, después del 45 el 54, 63, 72 y 81! El resto ya los teníamos.

• Ahora la tabla del seis, de la que sólo faltan tres números...

Añadimos la tabla del seis...

• ... la del siete, de la que sólo hay que escribir dos números...

... la del siete... (¡sólo queda una celda vacía!)

• ... y acabamos con la del ocho, rellenando 8 por 8, porque todo lo demás ya está escrito:

The End !!!

¡¡¡ Pues ya están las diez tablas de multiplicar en este "cuadrado mágico" !!!

Podemos quedarnos aquí, (ya hemos trabajado un montón), o podemos profundizar un poco más, echar un vistazo a todos estos números y encontrar algunas pautas que se esconden en ellos. Dos ejemplos:

• La tabla que hemos obtenido tiene un eje de simetría, que es la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha. Si doblamos el papel por esa diagonal podemos ver cómo cada celda se solapa con otra del mismo valor: el 2 cae sobre el 2, el 3 cae sobre el 3, el 6 cae sobre el 6, ... (otra vez la propiedad conmutativa haciendo de las suyas). Para el que sepa de matrices, la matriz 10 x 10 que forman los resultados es una matriz simétrica. Los números que forman la diagonal principal se llaman cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, ... y son el resultado de multiplicar un número por sí mismo, (luego vendrá muy bien conocerlos para calcular raíces cuadradas)

Los cuadrados perfectos forman la diagonal respecto a la que existe simetría

• Otra pauta muy fácil de observar: la multiplicación por un número par siempre da como resultado otro  número par. Así que, sólo obtenemos resultados impares cuando se trata de la multiplicación de un impar por otro impar. Como consecuencia, las tablas correspondientes a números pares, (la tabla del dos, del cuatro, del seis, ...) sólo tienen resultados pares, mientras que las tablas correspondientes a números impares (la del uno, la del tres, ...) los resultados van alternándose: impar, par, impar, par, ...

Tablas de pares: resultados pares
Tablas de impares: resultados alternos impar, par, impar, par ...

Seguro que a vosotros se os ocurren otras cosas que no pongo aquí. Si quereis compartirlas u opinar sobre esta manera tan sencilla, pero tan poco frecuente, de presentar las tablas de multiplicar, dejad un mensaje. ¡Buen cálculo!