Tablas de multiplicar: otra forma de verlas

Aprender las tablas de multiplicar es la base para poder calcular productos, divisiones, potencias, raíces, ... Por mucho ordenador y calculadora que nos rodee, yo pienso que sigue siendo muy importante automatizar las tablas, es un cálculo demasiado básico y muy frecuente como para renunciar a grabarlo en la memoria.

Hoy os quiero presentar otra manera de escribir las tablas. Os sugiero que lo probeis con los niños, tanto si están aprendiendo las tablas de multiplicar como si ya se las saben, porque es una manera de relacionarlas entre sí, y aparecen pautas y conceptos como la propiedad conmutativa y los cuadrados perfectos de una manera muy natural, como veremos a continuación.

Estos son los pasos a seguir:

• Construye una tabla 10 x 10  y etiqueta filas y columnas con los números del 1 al 10, en orden ascendente, como en la foto:

¡Cien celdas vacías! ¡Qué miedo!

• En cada celda de esta tabla vamos a escribir el resultado de multiplicar el número de fila por el número de columna. Empezamos con la fila 1: vamos a recorrerla de izquierda a derecha preguntando a nuestro niño ¿1 por 1? y escribimos el resultado en la primera celda de la fila; ¿1 por 2? y escribimos el resultado en la segunda celda de la fila; ¿1 por 3? y lo que nos diga lo ponemos en la tercera celda de la fila, así hasta completar la fila del 1. Hacemos lo mismo con la columna 1, de arriba a abajo. La tabla ahora tiene que tener esta pinta:                                                                                                                                                                                                                             



                                                                      Tabla del uno en horizontal y en vertical                                                                                             

• Hacemos lo mismo con la fila 2 y la columna 2, haciendo notar a nuestro niño que el primer resultado ya lo tiene escrito de cuando escribió la tabla del uno, "porque da lo mismo calcular 1 por 2 que 2 por 1" (y esto es la propiedad conmutativa, aunque no se nombre, pero se aprende). Podemos usar distintos colores, como en la foto:

El "2 por 1"  ya lo tenemos de antes

• Ahora la tabla del tres, en la fila 3 y en la columna 3, yo he vuelto a cambiar de color y he usado el verde. Volvemos a hacer notar al niño que ya tenemos escritos los resultados de 3 por 1, y 3 por 2. También es bastante alentador que se de cuenta de que de las 100 celdas vacías que teníamos al principio ya sólo quedan por rellenar 49, y eso sólo con las tres primeras tablas, que están chupadas...

Sólo quedan 49 celdas vacías. ¡¡¡ Ya hemos rellenado 51, más de la mitad, sólo con tres tablas !!!

• Ahora que ya tenemos la mecánica cogida, yo, si pudiese elegir, continuaría por las tablas del cinco y del diez, porque basta con mirar la tabla para darse cuenta de la pauta tan fácil que siguen: 5, 10, 15, ...(contar de cinco en cinco, números que acaban en 5 y en 0), y 10, 20, 30, ... (contar de diez en diez, números que acaban en 0). Estas pautas son las que luego se verán como reglas para calcular si un número es múltiplo de otro, como podeis consultar aquí.

                                  

                                        Añadimos la tabla del cinco ...

                          

                                       ... y la del diez. ¡Ya sólo quedan 25 números para saberse las diez tablas!

• Volvemos al orden convencional y rellenamos la fila 4 y la columna 4 con los resultados de la tabla del cuatro. Después de hacerlo, nos daremos cuenta de que sólo falta un cuadradito de 16 celdas para completar toda la tarea. Aquí tenemos que convencer a nuestro niño de que lo de las tablas de multiplicar ¡no es para tanto!, y que cada vez es más fácil, porque de cada tabla que vamos añadiendo tenemos más escrito de antemano. Por ejemplo, para completar la tabla del cuatro, sólo nos ha hecho falta escribir cinco números nuevos: 

Añadimos la tabla del cuatro  ¡Qué poco queda!

• Y otro salto en el orden tradicional. Ahora que tenemos tantos números escritos, ¿por qué no atreverse a descubrir la pauta que sigue la tabla del nueve? Si nos fijamos en la fila 9 o en la columna 9 veremos que cada resultado sube una decena con respecto al anterior y baja una unidad: 9, 18, 27, 36, 45, ... (¡claro, si sumásemos 10 unidades en cada paso saldría 9, 19, 29, ..., pero cómo sólo sumamos 9 unidades...! este tipo de razonamientos son los que podeis ir metiendo como quien no quiere la cosa...). ¿Eres capaz de seguir esa pauta y rellenar lo que queda?

¡Claro que sí, después del 45 el 54, 63, 72 y 81! El resto ya los teníamos.

• Ahora la tabla del seis, de la que sólo faltan tres números...

Añadimos la tabla del seis...

• ... la del siete, de la que sólo hay que escribir dos números...

... la del siete... (¡sólo queda una celda vacía!)

• ... y acabamos con la del ocho, rellenando 8 por 8, porque todo lo demás ya está escrito:

The End !!!

¡¡¡ Pues ya están las diez tablas de multiplicar en este "cuadrado mágico" !!!

Podemos quedarnos aquí, (ya hemos trabajado un montón), o podemos profundizar un poco más, echar un vistazo a todos estos números y encontrar algunas pautas que se esconden en ellos. Dos ejemplos:

• La tabla que hemos obtenido tiene un eje de simetría, que es la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha. Si doblamos el papel por esa diagonal podemos ver cómo cada celda se solapa con otra del mismo valor: el 2 cae sobre el 2, el 3 cae sobre el 3, el 6 cae sobre el 6, ... (otra vez la propiedad conmutativa haciendo de las suyas). Para el que sepa de matrices, la matriz 10 x 10 que forman los resultados es una matriz simétrica. Los números que forman la diagonal principal se llaman cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, ... y son el resultado de multiplicar un número por sí mismo, (luego vendrá muy bien conocerlos para calcular raíces cuadradas)

Los cuadrados perfectos forman la diagonal respecto a la que existe simetría

• Otra pauta muy fácil de observar: la multiplicación por un número par siempre da como resultado otro  número par. Así que, sólo obtenemos resultados impares cuando se trata de la multiplicación de un impar por otro impar. Como consecuencia, las tablas correspondientes a números pares, (la tabla del dos, del cuatro, del seis, ...) sólo tienen resultados pares, mientras que las tablas correspondientes a números impares (la del uno, la del tres, ...) los resultados van alternándose: impar, par, impar, par, ...

Tablas de pares: resultados pares
Tablas de impares: resultados alternos impar, par, impar, par ...

Seguro que a vosotros se os ocurren otras cosas que no pongo aquí. Si quereis compartirlas u opinar sobre esta manera tan sencilla, pero tan poco frecuente, de presentar las tablas de multiplicar, dejad un mensaje. ¡Buen cálculo!

Cálculo de Raíces Cuadradas (a mano)

Hoy la entrada va dedicada a mi sobrina Leire, una niña muy responsable de 6º de EP, que me dijo el otro día que en el cole estaba aprendiendo a calcular raíces cuadradas. Yo creía que esa operación ya estaba desterrada del temario de Matemáticas, (de hecho yo no la encuentro en los currículos oficiales, ¿alguien sabe si aparece en algún sitio?), pero ya veo que no, al menos no del todo.

A falta de calculadora, yo veo más intuitivo el cálculo de raíces por aproximaciones sucesivas, que tiene la ventaja de que no hay que recordar cómo se hacen las dichosas raíces cuadradas, y que, además, es un método que se puede hacer extensivo para raíces cúbicas o de cualquier otro índice.

En fin, lo prometido es deuda. Querida Leire, espero que te sirva de ayuda (a ti y a tu madre, que tuvo que buscar en internet cómo se hacían. Porque... ¿cuántos de los que estudiamos EGB podríamos hacer una raíz sin "chuleta"?)

• Lo primero que hay que saber es que calcular la raíz cuadrada de un número (radicando) es buscar otro número (raíz) que al multiplicarlo por sí mismo nos devuelva el primer número. Es decir:

• Si sólo manejamos números enteros, lo que pone en la imagen anterior sólo es posible cuando el radicando sea un cuadrado perfecto. Si el radicando no es un cuadrado perfecto, al hacer la raíz obtendremos un resto, (algo que sobra al final), y la cosa quedará así:

• Si trabajamos con números decimales, podremos seguir calculando cifras decimales de la raíz hasta que encontremos un resultado exacto, o, si no lo encontramos, todas las que queramos (esto lo veremos en otro post)

• Empiezo con un ejemplo cortito del cálculo de una raíz exacta (pido disculpas por el vídeo, bastante amateur, habrá que ir mejorando esto con el tiempo):

• Otro ejemplo más de raíz exacta, esta vez un poquito más largo:

• Y, como ejemplo de cálculo de raíz no exacta, te dejo esta imagen, para ver si sabes reproducir el cálculo. El procedimiento es el mismo de los dos ejemplos anteriores, pero ahora en la última resta, obtenemos un número distinto de cero. Ese número se llama resto, y es lo que le falta al cuadrado de la raíz para igualar al radicando:

¡ BUEN CÁLCULO !

Raíces cuadradas: cálculo por acotaciones sucesivas

¿Quién se acuerda de cómo se hace una raíz cuadrada "a mano" (es decir, sin calculadora)? Es un procedimiento largo y muy poco intuitivo.
Aquí vamos a ver cómo calcular el valor de una raíz cuadrada mediante acotaciones sucesivas. La ventaja de este método es que no tenemos que saber hacer raíces cuadradas, basta con saber multiplicar, y eso sí que sabemos, ¿verdad?

Veamos un ejemplo:

Vamos a calcular aproximadamente el valor de

Empezamos acotando su valor entre dos números enteros:

En este momento no sabemos exactamente su valor, pero sí sabemos que está comprendido entre 7 y 8. 

Si necesitamos más precisión, podemos repetir el proceso "hilando más fino", añadiendo ahora la primera cifra decimal:

Ahora ya sabemos que es un número comprendido entre 7,3 y 7,4, que, para muchos cálculos, será una precisión más que suficiente.

De esta forma podemos seguir acotando hasta alcanzar la precisión que se requiera: centésimas, milésimas, ... ¡Date cuenta que todo lo que haces es multiplicar y acotar!

¡Buen cálculo!

Problema de la escalera

Un problema interesante acerca de múltiplos, divisores y mínimo común múltiplo es el que plantea mi amigo Emilio:

"Tres hermanos suben una escalera de 300 peldaños. El mayor, Dani, sube la escalera de 6 en 6 peldaños. El mediano, Javi, sube la escalera de 4 en 4 peldaños. El pequeño, Diego, sube de 2 en 2. ¿Qué peldaños pisan los tres hermanos?"

Cuando el hijo mayor de Emilio se puso a resolver este problema, lo hizo de la siguiente forma (como decían en mi colegio: "por la cuenta de la vieja"):

• Dani pisa los peldaños: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, .... (todos los múltiplos de 6)
• Javi pisa los peldaños: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, .... (todos los múltiplos de 4)
• Diego pisa los peldaños: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (todos los múltiplos de 2)

Una vez que se tienen las tres listas desarrolladas hasta 300, sólo hay que fijarse en los números que coinciden en las tres. Estos números son: 12, 24, 36, 48, 60, ... Esos son los peldaños que pisan los tres hermanos, y es la solución del problema.

Este razonamiento es perfecto, la única pega es que el desarrollo de la solución es largo, más largo cuánto más larga sea la escalera. Por ejemplo, con 300 escalones, la lista de Diego tiene 150 peldaños, la de Javi 75 peldaños y la de Dani 50 peldaños.

Otra manera de resolverlo es a través de los conceptos de múltiplo/divisor y mínimo común múltiplo:
El mínimo común múltiplo de 2, 4 y 6 es el número más pequeño que es múltiplo a la vez de 2, de 4 y de 6. Si no te acuerdas de cómo se calcula el mínimo común múltiplo lo puedes mirar aquí.

El primer escalón que van a pisar los tres hermanos es el número 12, qué es el múltiplo más pequeño de 2, 4 y 6. El siguiente es el número 24, el siguiente el 36, después el 48, ..., es decir, todos los múltiplos de 12.
Razonando de esta manera, nos podemos ahorrar el desarrollo de las tres listas de escalones que pisa cada uno de los hermanos, y, directamente, buscar todos los múltiplos de 12 hasta el 300:

...

Los escalones en los que coinciden los tres hermanos son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216, 228, 240, 252, 264, 276, 288 y 300

¡MUCHO MÁS CORTO SI PENSAMOS UN POCO ANTES DE EMPEZAR!

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar fracciones, estas tienen que tener el mismo denominador. Solo se pueden sumar/restar medios con medios, tercios con tercios, cuartos con cuartos, ...

Fíjate en la siguiente figura para entender el procedimiento:

Cuando las fracciones que se quieren sumar o restar no tienen el mismo denominador, primero tendremos que convertirlas en fracciones equivalentes con el mismo denominador. Fíjate en este ejemplo:

No podemos sumar "sextos" y "medios". Así que, antes de sumar, tenemos que transformar las fracciones originales en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, sin que el valor de la suma cambie.
Vamos a elegir como nuevo denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores:

La primera fracción ya está expresada en sextos, así que la dejamos como está. 

La segunda fracción hay que expresarla en su fracción equivalente con denominador 6:

Y la suma finalmente queda así:

Si quieres practicar, en este enlace tienes un montón de ejercicios resueltos sobre operaciones con fracciones, incluyendo uso de paréntesis y problemas: http://es.scribd.com/doc/70365610/U-8-Operaciones-Con-Fracciones

¡ SUPERFÁCIL!

Números Primos

Un número primo es el que sólo tiene dos divisores, que son él mismo y a la unidad.

Por ejemplo, 13 es un número primo, porque sus únicos divisores son 1 y 13.
Pero 9 no es un número primo, porque sus divisores son 1, 3 y 9.

Para hallar los números primos entre los 100 primeros números enteros puedes seguir este procedimiento:

• Construye una tabla 10 x 10 y escribe en orden todos los números enteros del 1 al 100
• Tacha el 1, que no es primo, porque no cumple el criterio de tener dos divisores, (aunque en esto hay distintas opiniones)
• Tacha todos los múltiplos de 2 (menos el 2): tacha el 4, el 6, el 8, el 10, ...
• El siguiente número no tachado que te encontrarás es el 3. Tacha todos sus múltiplos (menos el 3), que no estén ya tachados: tacha el 9, el 15, el 21, ...
• El siguiente que te encontrarás sin tachar es el 5. Tacha todos sus múltiplos (menos el 5), que no estén todavía tachados: tacha el 25, el 35, ...
• Haz lo mismo con los siguientes números que no estén tachados: con el 7, con el 11, con el 13, ... hasta que se te acaben las posibilidades. 

El resultado que tienes que haber obtenido es la siguiente tabla (los números primos son los que ves en verde):

Este procedimiento se llama CRIBA de ERATÓSTENES. 

Criterios de divisibilidad

Si no te acuerdas de cuándo un número es divisible entre otro, aquí van algunas pistas. Primero mira esta figura para recordar a qué se llama MÚLTIPLO y a qué se llama DIVISOR.

Un número es múltiplo de:

• 2, si el número es PAR
• 3, si la suma de las cifras de ese número es un múltiplo de 3
• 4, si la mitad del número es divisible entre 2
• 5, si la última cifra es un 0 o un 5
• 6, si es divisible entre 2 y 3
• 7, ¡no hay regla de divisibilidad para el 7! Hay que probar haciendo la división
• 8, si la mitad del número es divisible entre 4
• 9, si la suma de las cifras del número es un múltiplo de 9
• 10, si el número termina en 0
• 11, si la suma de las cifras pares es igual a la suma de las cifras impares
• 12, si es divisible entre 3 y 4

¡Buen cálculo!