Hoy toca reflexionar...

Richard Gerver

Hoy no traigo nada del temario de primaria ni de secundaria.
Hoy me voy a dar el lujazo de recomendaros una lectura (es muy cortita) que apareció hace un mes en un blog de matemáticas muy bonito y accesible que se llama TocaMates

Trata de una charla que Richard Gerver, uno de los gurús de la educación actual, ofreció en el British Council School el pasado mes de octubre.

Yo no puedo estar más de acuerdo con lo que dice, especialmente en ese énfasis tan ridículo de preparar al niño para un examen muy importante, que le da paso a otro examen mucho más importante, que le da paso a otro examen requeteimportante, ... y así durante toda su vida escolar.

Y también en el enfoque de unir la comprensión lectora con las matemáticas (repetiré hasta la saciedad que una grandísima parte del fracaso escolar en matemáticas se debe, en mi opinión, a una mala comprensión lectora, por eso los problemas dan tantos problemas).

Espero que os guste, os haga reflexionar (como a mí), y a ver si entre todos cambiamos poco a poco el enfoque de la educación en España. ¡Qué lo disfruteis!

http://tocamates.blogspot.com.es/2013/10/las-revalidas-de-richard-gerver.html#more

Convertir fracciones en decimales y al revés

Todas las fracciones se pueden escribir en forma de número decimal.
Sólo hay que dividir el numerador entre el denominador. Si lo hacemos, veremos que nos pueden pasar varias cosas:

• El resultado puede ser un número entero:

• puede ser un decimal exacto:

• o un decimal periódico:

 

Pero, ¡ojo!, no todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción. Sólo podemos escribir en forma de fracción los decimales exactos y los decimales periódicos (ya veremos en otro post cuáles no y porqué). Veamos algunos ejemplos:

• Cuando el decimal es exacto el procedimiento es muy fácil, gracias a nuestro sistema decimal de numeración:

(fíjate que en el segundo ejemplo, hemos "reducido" la fracción dividiendo el numerador y el denominador entre 2, hasta llegar a la fracción irreducible). A estas fracciones que obtenemos se les llama fracción generatriz de un número decimal.

• Cuando el decimal es periódico no es tan obvio a simple vista, pero fíjate qué fácil es si nos quitamos el periodo de encima mediante el siguiente procedimiento:

Vamos a expresar como fracción el número 

Para que se entienda bien lo que vamos a hacer con este número, vamos a llamarlo "x": 

Vamos a multiplicar el número por 10, de forma que "pasamos" un 4 del periodo a la parte entera:

Y ahora restamos las dos ecuaciones anteriores:

Y ya sólo falta despejar "x" de esta ecuación tan fácil:

¡¡¡LO HEMOS CONSEGUIDO!!!

• Y... ¡más difícil todavía! Cuando el número decimal tiene anteperiodo (así se llaman las cifras decimales que no se repiten y que van antes del periodo), el procedimiento tiene un pasito más. Otro ejemplo:

Ahora vamos a calcular la fracción generatriz del número

y, como antes, lo vamos a llamar "x":

Lo multiplicamos por 10 para "pasar" la cifra del anteperiodo a la parte entera:

Y lo multiplicamos por 100 para "pasar" la cifra del periodo a la parte entera:

Restamos las dos ecuaciones anteriores:

Y sólo queda despejar la "x" de esta ecuación tan facilona:

(fíjate que, siempre que sea posible, la fracción obtenida se "reduce" hasta su fracción irreducible)

¡¡¡ CONSEGUIDO !!!

Si te vas a poner a hacer ejercicios y quieres comprobar tus resultados, puedes usar el generador de fracciones generatriz del blog NoSoloMates. Pincha aquí. 

PARA VALIENTES:

Si has llegado hasta aquí, ¿por qué no pruebas algo que te va a sorprender? 

Trata de calcular la fracción generatriz de 0,99999..... y comprobarás que:

¿Curioso, verdad?

Si quieres otra demostración, con anécdota incluida, pincha aquí.

¡BUEN CÁLCULO!

Razón y Proporción. Repartos Proporcionales

Un buen ejemplo para explicar lo que significa la razón entre dos cantidades es fijarse en una maqueta. Recordad que tiene que ser una maqueta con la que el niño esté familiarizado y que pueda manipular, por ejemplo, un Lego, un circuito de Scalextric, ... cualquier construcción a escala.

Todas las medidas de la maqueta son proporcionales a las medidas en la realidad. Si en una maqueta de Scalextric un tramo de pista de 20 cm corresponde a un tramo de circuito de 200 m, decimos que la maqueta está hecha a escala 1:1000. Esto se calcula así (recuerda hacer el cambio de unidades para poder comparar la maqueta con la realidad):

Una razón es el cociente entre dos cantidades, expresadas en las mismas unidades de medida. 

La razón entre dos cantidades nos indica cuántas veces mayor o menor es una cantidad respecto a otra. 

Por ejemplo:

Lucía pesa 24 kg. Su padre pesa 72 kg. ¿Cuál es la razón entre el peso de Lucía y el peso de su padre?

Esta razón significa que por cada kilo que pesa Lucía su padre pesa 3 kilos. 

Muchas veces hay que repartir una cierta cantidad en partes proporcionales a una razón determinada. Estos repartos se llaman repartos proporcionales. Para entenderlo bien y poder explicarlo, fíjate en la siguiente situación:

                                                                                                   Un décimo de lotería de Navidad cuesta 20 €. Marta, Pedro y Víctor han comprado uno de la siguiente manera: Marta ha puesto 12 €, Pedro 4 € y Víctor 4 €. Si les toca el gordo, se llevarían 400 000 € por su décimo y lo repartirían proporcionalmente al dinero que ha puesto cada uno para comprarlo. ¿Cuánto le tocaría a cada uno?

• Primero vamos a calcular la razón del reparto. Eso se hace dividiendo lo que ha puesto cada uno entre el Máximo Común Divisor de los tres números. En este caso, los números son 12, 4 y 4, y el MCD (12, 4, 4) = 4            

                                                      

• Sumando los números que intervienen en la razón, obtenemos las partes en las que hay que repartir el premio: 

                                                          

• Dividimos el premio en cinco partes iguales:
  

• De cada una de esas partes, 3 le corresponden a Marta, 1 a Pedro y 1 a Víctor. Por tanto, Marta se llevaría:   
  

          y Pedro y Víctor se llevarían cada uno:   

¡¡¡ A VER SI NOS TOCA ALGO ESTE AÑO. SUERTE!!!

Teorema de Pitágoras. Demostración

No hace falta presentación para el teorema de Pitágoras, ese que dice que en un triángulo rectángulo "el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Es uno de los teoremas más conocidos y más recordados de la geometría. Su demostración se basa en la relación que hay entre las áreas de los cuadrados que se generan con cada lado del triángulo que tenemos entre manos. Para entenderlo, mirad esta figura:

El área del cuadrado verde es la suma de las áreas de los cuadrados naranja y rojo: 

Y esto pasa en todos los triángulos rectángulos que uno pueda construir. 

¡Mirad qué bonita es esta demostración con agua! Para verla pinchad aquí.

Raíces cuadradas: cálculo por acotaciones sucesivas

¿Quién se acuerda de cómo se hace una raíz cuadrada "a mano" (es decir, sin calculadora)? Es un procedimiento largo y muy poco intuitivo.
Aquí vamos a ver cómo calcular el valor de una raíz cuadrada mediante acotaciones sucesivas. La ventaja de este método es que no tenemos que saber hacer raíces cuadradas, basta con saber multiplicar, y eso sí que sabemos, ¿verdad?

Veamos un ejemplo:

Vamos a calcular aproximadamente el valor de

Empezamos acotando su valor entre dos números enteros:

En este momento no sabemos exactamente su valor, pero sí sabemos que está comprendido entre 7 y 8. 

Si necesitamos más precisión, podemos repetir el proceso "hilando más fino", añadiendo ahora la primera cifra decimal:

Ahora ya sabemos que es un número comprendido entre 7,3 y 7,4, que, para muchos cálculos, será una precisión más que suficiente.

De esta forma podemos seguir acotando hasta alcanzar la precisión que se requiera: centésimas, milésimas, ... ¡Date cuenta que todo lo que haces es multiplicar y acotar!

¡Buen cálculo!

Funciones polinómicas

Desde este post sólo quiero remitiros a otro post en el que Clara Grima Ruiz y Raquel García Ulldemolins, a través de Mati, una profe de mates muy particular, explican de maravilla:

• qué es una función polinómica
• cómo averiguar la expresión de la función, (esto significa, calcular el valor numérico de los coeficientes), sabiendo algunos puntos por los que pasa. 

Si quieres descubrirlo, pincha aquí.

¡Gracias, Clara y Raquel, me parecen fantásticos vuestros blogs!

Problema de la escalera

Un problema interesante acerca de múltiplos, divisores y mínimo común múltiplo es el que plantea mi amigo Emilio:

"Tres hermanos suben una escalera de 300 peldaños. El mayor, Dani, sube la escalera de 6 en 6 peldaños. El mediano, Javi, sube la escalera de 4 en 4 peldaños. El pequeño, Diego, sube de 2 en 2. ¿Qué peldaños pisan los tres hermanos?"

Cuando el hijo mayor de Emilio se puso a resolver este problema, lo hizo de la siguiente forma (como decían en mi colegio: "por la cuenta de la vieja"):

• Dani pisa los peldaños: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, .... (todos los múltiplos de 6)
• Javi pisa los peldaños: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, .... (todos los múltiplos de 4)
• Diego pisa los peldaños: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (todos los múltiplos de 2)

Una vez que se tienen las tres listas desarrolladas hasta 300, sólo hay que fijarse en los números que coinciden en las tres. Estos números son: 12, 24, 36, 48, 60, ... Esos son los peldaños que pisan los tres hermanos, y es la solución del problema.

Este razonamiento es perfecto, la única pega es que el desarrollo de la solución es largo, más largo cuánto más larga sea la escalera. Por ejemplo, con 300 escalones, la lista de Diego tiene 150 peldaños, la de Javi 75 peldaños y la de Dani 50 peldaños.

Otra manera de resolverlo es a través de los conceptos de múltiplo/divisor y mínimo común múltiplo:
El mínimo común múltiplo de 2, 4 y 6 es el número más pequeño que es múltiplo a la vez de 2, de 4 y de 6. Si no te acuerdas de cómo se calcula el mínimo común múltiplo lo puedes mirar aquí.

El primer escalón que van a pisar los tres hermanos es el número 12, qué es el múltiplo más pequeño de 2, 4 y 6. El siguiente es el número 24, el siguiente el 36, después el 48, ..., es decir, todos los múltiplos de 12.
Razonando de esta manera, nos podemos ahorrar el desarrollo de las tres listas de escalones que pisa cada uno de los hermanos, y, directamente, buscar todos los múltiplos de 12 hasta el 300:

...

Los escalones en los que coinciden los tres hermanos son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216, 228, 240, 252, 264, 276, 288 y 300

¡MUCHO MÁS CORTO SI PENSAMOS UN POCO ANTES DE EMPEZAR!