Álgebra

El álgebra elemental es la parte de las matemáticas que introduce símbolos, (letras), en las operaciones aritméticas, y de esta manera, permite expresar fórmulas generales, ecuaciones e inecuaciones. Para poder abordar el álgebra, antes hay que dominar los números y las operaciones entre ellos, o sea, la aritmética. Además, el hecho de trabajar con símbolos en lugar de con valores numéricos, requiere una capacidad de abstracción importante, excesiva, por lo general, para un alumno de primaria. Por eso, el álgebra como tal se empieza a ver, en pequeñas dosis, a partir de 1º de ESO. A grandes rasgos, los conceptos de álgebra que se estudian en la ESO son los siguientes: (*)

• Primero hay que familiarizar al alumno con el concepto de que las operaciones que ha estudiado con números concretos también se pueden realizar con letras que no tienen asignado ningún valor numérico: por ejemplo,
  
  aunque no sepamos cuánto vale "a". A este lenguaje que mezcla números, letras y operaciones lo llamamos lenguaje algebraico. Hay que aprender a sumar, multiplicar, dividir, operar con paréntesis, sacar factor común en expresiones en las que aparecen números y letras. (1º, 2º y 3º de ESO)
• Hay que aprender a traducir enunciados de problemas al lenguaje algebraico, expresando lo que no se conoce a través de letras. Esta es la base del planteamiento de problemas de ecuaciones e inecuaciones. (1º, 2º, 3º y 4º de ESO)
• Muy importante: dentro de las las expresiones algebraicas que nos encontramos en la ESO, hay que saber distinguir entre fórmulas, identidades y ecuaciones:
• Una fórmula es la expresión general para calcular una variable que es función de otras. Por ejemplo,
  
  ("peso es igual a la masa de un cuerpo por el valor de la gravedad terrestre"), nos permite calcular el peso de cualquier cuerpo en  función del valor de su masa y de una constante que no depende de él.
• Una identidad es una igualdad que funciona para cualquier valor numérico de las letras que aparecen en ellas. Por ejemplo, la igualdad:  
  
  es válida siempre, para cualquier valor de los parámetros "a" y "b"
• Una ecuación es una igualdad que sólo es válida para ciertos valores numéricos de las letras que aparecen en ella. Por ejemplo, la igualdad:
  
  sólo es cierta en el caso de que el valor numérico de "a" sea 3
• Dentro de las fórmulas se estudian patrones repetitivos, como las sucesiones aritméticas y geométricas. El término general de una sucesión nos indica el valor de cada uno de sus términos, en función de la posición que ocupa. (2º y 3º de ESO).
• Otra estructura algebraica que se estudia, pero de la que no se comprenderá la utilidad hasta mucho más tarde, son los polinomios (yo empecé a utilizar conscientemente alguna de sus aplicaciones en los primeros cursos de Físicas). Aunque no se entiende en absoluto para qué sirven, se aprende a identificarlos, sumarlos, restarlos, multiplicarlos, dividirlos y, ¡muy importante!, factorizarlos (es decir, expresar un conjunto de términos que se suman y se restan entre sí como un conjunto de factores que se multiplican entre sí, ¡qué maravilla!) (2º, 3º y 4º de ESO)
• Las ecuaciones
  
  más sencillas aparecen en 1º de ESO y se van complicando poco a poco hasta alcanzar bastante complejidad. En 4º de ESO hay que lidiar con ecuaciones lineales, polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Saber despejar bien una ecuación requiere mucha destreza y un total dominio de las reglas que rigen las operaciones que aparecen en la ecuación. No es tan sencillo como parece. Además de saber resolverlas, se espera que el alumno sea capaz de plantearlas a partir del enunciado de un problema. (1º, 2º, 3º, y 4º de ESO)
• Una estructura de ecuación que en el lugar del signo "=", tiene los signos "<" ó ">" se conoce como una inecuación. Las inecuaciones que aparecen en la ESO son bastante sencillas de manejar: lineales, polinómicas y racionales. A diferencia de las ecuaciones, cuyas soluciones son valores puntuales, la solución de una inecuación suele venir dada como un intervalo de la recta real. Es importante que el alumno entienda que eso significa que existen infinitos valores que cumplen la condición impuesta por la inecuación. (4º de ESO) 
• Además de aparecer sueltas, uno puede encontrar ecuaciones e inecuaciones agrupadas en un sistema. Eso quiere decir que la solución que buscamos tiene que ser solución de todas y cada una de las ecuaciones o inecuaciones que forman el sistema. Los problemas que plantean más de una condición sobre la/s incógnita/s se resuelven a través de sistemas. (2º, 3º y 4º de ESO)

(*) Este resumen de los contenidos matemáticos a lo largo de la educación primaria y secundaria solo pretende ser una visión general a grandes rasgos de cómo se va construyendo "en vertical" la asignatura. Para un análisis exhaustivo de los contenidos de cada curso es preciso consultar el currículo oficial, que depende de cada comunidad autónoma. Por ejemplo, el de la Comunidad de Madrid, puedes consultarlo aquí para Primaria, o aquí para Secundaria.